viernes, 28 de noviembre de 2008

EL PAPEL DEL JUEGO EN LA EDUCACION MATEMATICA

La actividad matemática ha tenido desde siempre una componente lúdica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creaciones más interesantes que en ella han surgido.
El juego, tal como el sociólogo J. Huizinga lo analiza en su obra Homo Ludens, presenta unas cuantas características peculiares:



- Es una actividad libre, en el sentido de la paideia griega, es decir, una actividad que se ejercita

por sí misma, no por el provecho que de ella se pueda derivar

- Tiene una cierta función en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega

y se prepara con ello para la vida; también el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberación, de evasión, de relajación:


- El juego no es broma; el peor revienta juegos es el que no se toma en serio su juego


- El juego, como la obra de arte, produce placer a través de su contemplación y de su ejecución


- El juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio

- Existen ciertos elementos de tensión en él, cuya liberación y catarsis causan gran placer


- El juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practican

- A través de sus reglas el juego crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y armonía.


Un breve análisis de lo que representa la actividad matemática basta para permitirnos comprobar que muchos de estos rasgos están bien presentes en ella. La matemática, por su naturaleza misma, es también juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el científico, instrumental, filosófico, que juntos hacen de la actividad matemática uno de los verdaderos ejes de nuestra cultura.

Si el juego y la matemática, en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que también participan de las mismas características en lo que respecta a su propia práctica. Esto es especialmente interesante cuando nos preguntamos por los métodos más adecuados para transmitir a nuestros alumnos el profundo interés y el entusiasmo que las matemáticas pueden generar y para proporcionar una primera familiarización con los procesos usuales de la actividad matemática.


Un juego comienza con la introducción de una serie de reglas, un cierto número de objetos o piezas, cuya función en el juego viene definida por tales reglas, exactamente de la misma forma en que se puede proceder en el establecimiento de una teoría matemática por definición implícita: "Se nos dan tres sistemas de objetos. Los del primer sistema los llamaremos puntos, los del segundo rectas,..." (Hilbert, Grudlagen der Geometrie)

Quien se introduce en la práctica de un juego debe adquirir una cierta familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras al modo como el novicio en matemáticas compara y hace interactuar los primeros elementos de la teoría unos con otros. Estos son los ejercicios elementales de un juego o de una teoría matemática.


Quien desea avanzar en el dominio del juego va adquiriendo unas pocas técnicas simples que, en circunstancias que aparecen repetidas a menudo, conducen al éxito. Estos son los hechos y lemas básicos de la teoría que se hacen fácilmente accesibles en una primera familiarización con los problemas sencillos del campo.

Una exploración más profunda de un juego con una larga historia proporciona el conocimiento de los caminos peculiares de proceder de los que han sido los grandes maestros en el campo. Estas son las estrategias de un nivel más profundo y complejo que han requerido una intuición especial puesto que se encuentran a veces bien alejadas de los elementos iniciales del juego. Esto corresponde en matemáticas a la fase en la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos los grandes teoremas y métodos que han sido creados a través de la historia. Son los procesos de las mentes más creativas que están ahora a su disposición para que él haga uso de ellas en las situaciones más confusas y delicadas.


Más tarde, en los juegos más sofisticados, donde la reserva de problemas nunca se agota, el jugador experto trata de resolver de forma original situaciones del juego que nunca antes han sido exploradas. Esto corresponde al enfrentamiento en matemáticas con los problemas abiertos de la teoría.

Finalmente hay unos pocos que son capaces de crear nuevos juegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones capaces de motivar estrategias y formas innovadoras de jugar. Esto es paralelo a la creación de nuevas teorías matemáticas, fértiles en ideas y problemas, posiblemente con aplicaciones para resolver otros problemas abiertos en matemáticas y para revelar niveles de la realidad más profundos que hasta ahora habían permanecido en la penumbra.


La matemática y los juegos han entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente en la historia de las matemáticas la aparición de una observación ingeniosa, hecha de forma lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. En la antigüedad se puede citar el I Ching como origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos más modernos se puede citar en este contexto a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal, Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli,...

Del valor de los juegos para despertar el interés de los estudiantes se ha expresado muy certeramente Martin Gardner, el gran experto de nuestro tiempo en la presentación lúcida, interesante y profunda de multitud de juegos por muchos años en sus columnas de la revista americana Scientific American: "Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de magia, chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas" (Carnaval Matemático, Prólogo).


El matemático experto comienza su aproximación a cualquier cuestión de su campo con el mismo espíritu explorador con el que un niño comienza a investigar un juguete recién estrenado, abierto a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco a poco espera iluminar, con el placentero esfuerzo del descubrimiento. ¿Por qué no usar este mismo espíritu en nuestra aproximación pedagógica a las matemáticas?


El gran beneficio de este acercamiento lúdico consiste en su potencia para transmitir al estudiante la forma correcta de colocarse en su enfrentamiento con problemas matemáticos.

La matemática es un grande y sofisticado juego que, además, resulta ser al mismo tiempo una obra de arte intelectual, que proporciona una intensa luz en la exploración del universo y tiene grandes repercusiones prácticas. En su aprendizaje se puede utilizar con gran provecho sus aplicaciones, su historia, las biografías de los matemáticos más interesantes, sus relaciones con la filosofía o con otros aspectos de la mente humana, pero posiblemente ningún otro camino puede transmitir cuál es el espíritu correcto para hacer matemáticas como un juego bien escogido.

UN AMBIENTE DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMATICAS



Una sala de kinder es un ambiente activo. Los niños trabajan con material concreto, guiados por la profesora, quien los observa, corrige errores y les hace preguntas. En las paredes vemos colgados trabajos de los alumnos y gráficos, en los que están trabajando.

Los materiales están etiquetados y se guardan en cubetas o cajas en estantes a la altura de los niños. En algunos períodos, los niños escogen materiales y trabajan libremente con ellos, guardándolos al terminar su actividad.

La profesora es la que continuamente crea un ambiente estimulante para sus alumnos y se preocupa de conocer las habilidades y dificultades de cada uno para ofrecer a todos actividades desafiantes.
En esta exposición veremos cómo crear un ambiente de aprendizaje para que los alumnos aprendan matemática con Matemáticas a su manera. Para esto revisaremos brevemente EL ROL DEL PROFESOR,

Los objetivos del método de Baratta-Lorton concuerdan con los propuestos en las bases curriculares para la educación preescolar.

En términos generales, ambos promueven una enseñanza centrada en el uso de materiales concretos y que integra la afectividad y el pensamiento. Buscan además, una transición suave entre los diferentes niveles de la educación inicial, la incorporación de la familia y el contexto del niño para generar experiencias significativas, y fomentar valores como la responsabilidad.
Pero especialmente, ambos consideran que un programa de educación matemática es un programa que desarrolla el pensamiento lógico. Por lo tanto, ambos proponen el uso de material concreto y un entorno lúdico.

En Matemáticas a su manera el rol del profesor es el de facilitador, participante activo y observador. Al integrarse y observar el trabajo de los niños, el profesor se dará cuenta cuándo hay confusiones acerca de la actividad o el uso del material. Asimismo, tendrá una idea de cuándo incorporar nuevos materiales u ofrecer actividades más desafiantes. (jugar con el nivel de preguntas)Los niños imitan la conducta del adulto. Si la profesora muestra respeto e interés genuino en las actividades de los niños, ellos probablemente mostrarán el mismo interés y respeto

UTILIZACION DE LOS JUEGOS EN LA ENSEÑANZA.


¿Se pueden utilizar los juegos matemáticos con provecho en la enseñanza? ¿De qué forma? ¿Qué juegos? ¿Qué objetivos pueden conseguirse a través de los juegos?

Los juegos tienen un carácter fundamental de pasatiempo y diversión. Para eso se han hecho y ese es el cometido básico que desempeñan. Por eso es natural que haya mucho receloso de su empleo en la enseñanza. "El alumno, -piensa-, se queda con el pasatiempo que, eso sí, le puede comer el coco totalmente y se olvida de todo lo demás. Para lo que se pretende, es una miserable pérdida de tiempo".

A mi parecer, en cambio, ese mismo elemento de pasatiempo y diversión que el juego tiene esencialmente, debería ser un motivo más para utilizarlo generosamente. ¿Por qué no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras clases con una sonrisa? Si cada día ofreciésemos a nuestros alumnos, junto con el rollo cotidiano, un elemento de diversión, incluso aunque no tuviese nada que ver con el contenido de nuestra enseñanza, el conjunto de nuestra clase y de nuestras mismas relaciones personales con nuestros alumnos variarían favorablemente.

Pero es que además sucede que, por algunas de las razones apuntadas antes, relativas a la semejanza de estructura del juego mismo y de la matemática, avaladas por la historia misma de la matemática y de los juegos, y por otras razones que señalaré a continuación, el juego bien escogido y bien explotado puede ser un elemento auxiliar de gran eficacia para lograr algunos de los objetivos de nuestra enseñanza más eficazmente.

En mi opinión, el objetivo primordial de la enseñanza básica y media no consiste en embutir en la mente del niño un amasijo de información que, pensamos, le va a ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, físicas, de modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estímulo de su propia acción, colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de las actitudes básicas más características que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia.

Por la semejanza de estructura entre el juego y la matemática, es claro que existen muchos tipos de actividad y muchas actitudes fundamentales comunes que pueden ejercitarse escogiendo juegos adecuados tan bien o mejor que escogiendo contenidos matemáticos de apariencia más seria, en muchos casos con claras ventajas de tipo psicológico y motivacional para el juego sobre los contenidos propiamente matemáticos.

Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de toda la vida para la matemática, disfrutan intensamente con puzzles y juegos cuya estructura en poco difere de la matemática. Existen en ellas claros bloqueos psicológicos que nublan su mente en cuanto se percatan de que una cuestión que se les propone, mucho más sencilla tal vez que el juego que practican, tiene que ver con el teorema de Pitágoras. Estos bloqueos son causados muy frecuentemente en la niñez, donde a absurdas preguntas iniciales totalmente inmotivadas sguían respuestas aparentemente inconexas que hacían de la matemática una madeja inextricable cada vez más absurda y complicada.

Bien se puede pensar que muchas de estas personas, adecuadamente motivadas desde un principio, tal vez a través de esos mismos elementos lúdicos que están descargados del peso psicológico y de la seriedad temible de la matemática oficial, se mostrarían, ante la ciencia en general y ante la matemática misma en particular, tan inteligentes como corresponde al éxito de su actividad en otros campos diferentes.

Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones matemáticas se prestan igualmente al aprovechamiento didáctico. Muchos son meras charadas y acertijos ingeniosos. Muchos otros se basan en la confusión intencionada del enunciado al modo de los oráculos sibilinos y dejan al final una impresión de mera tomadura de pelo. En otros casos la solución de la impresión de haber llegado por revelación divina que no cabe fácilmente en un esquema de pensamiento que pueda conducir a un método. Pero, como veremos, hay juegos que, de forma natural, resultan asquibles a una manipulación muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolución sistemática de problemas matemáticos y que encierran lecciones profundamente valiosas.

Es mi intención presentar a continuación dos esquemas de posible utilización de los juegos en la enseñanza. El primero consiste en un ensayo de desarrollo heurístico a través de los juegos. Trataré de poner de manifiesto cómo lo que, a mi parecer, constituye la savia de las matemáticas y la manera más efectiva de acercamiento a ellas desde el punto de vista didáctico, la resolución de problemas, puede aprovecharse de la actividad con juegos bien escogidos. El segundo esquema presenta, a través de un listado de temas, actitudes y actividades matemáticas, cómo los juegos pueden utilizarse para motivar, enriquecer e iluminar la ocupación con ellas.

Lo que sobre todo deberíamos proporcionar a nuestros alumnos a través de las matemáticas es la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para la resolución de problemas, matemáticos y no matemáticos. ¿De qué les puede servir hacer un hueco en su mente en el que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos allí herméticamente emparedados? A la resolución de problemas se le ha llamado, con razón el corazón de las matemáticas, pues ahí es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atraído y atrae a losmatemáticos de todas las épocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hábitos, ideas para el desarrollo de herramientas apropiadas, en una palabra, la vida propia de las matemáticas. Muchos de estos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas que constituyen los juegos matemáticos.

Lo que sigue viene a ser, en sus líneas generales, un calco de las directrices fundamentales de la famosa obra de Polya ¿Cómo Resolverlo?, ilustradas aquí con algunos juegos que a mí, espigando en la literatura, me han parecido adecuados. El objetivo de este esquema consiste simplemente en tratar de poner bien patente la semejanza de actitudes que se dan en la resolución de un puzzle o un juego y en la de un genuino problema matemático, y cómo, efectivamente, muchos de los hábitos adecuados para la tarea matemática podría no adquirirlos igualmente bien divirtiéndose con ejemplos escogidos de juegos. La elaboración de un curso completo de heurística en esta dirección sería un trabajo bien interesante que requeriría una inmersión a fondo en la abundante literatura existente a fin de analizar los juegos más apropiados para cada aspecto y para comprobar el rendimiento efectivo de esta actividad. Trataré en lo posible aquí de presentar ejemplos bien conocidos a fin de evitar introducciones quenos llevarían mucho tiempo.

EL HUEVO TANGRAM



Construcción del huevo del tangram.

Observa el dibujo del huevo y construye uno igual siguiendo las siguientes instrucciones.

1) Dibuja un círculo de radio 6 cm. y marca el centro con una A.

2).Traza los diámetros BC y DE, de forma que determinen un ángulo recto.

3).Une Ba E y E a C y luego alarga estas dos líneas 5 cm. por encima de E.

4). Utilizando B como centro y BC como radio, traza un arco que corte la prolongación de la línea BE en G.

5). Utilizando C como centro y CB como radio, traza un arco que corte la prolongación de la línea CE en F.

6). Con E como centro y EF como radio, traza un arco que una F y G.

7). Mide este mismo radio desde D a lo largo de la línea DA para determinar el punto H.

8). Con ese mismo radio y H como centro, traza un arco que cruce la línea BC en J y en K.

9). Alarga la línea AE hasta que corte el arco FG en L
.
10). Une H con J y después H con K.














miércoles, 26 de noviembre de 2008

HISTORIA DEL TANGRAM


El Tangram es un juego chino muy antiguo llamado "Chi Chiao Pan" que significa "juego de los siete elementos" o "tabla de la sabiduría". Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo cantones "tang" que significa chino con el vocablo latino "gram" que significa escrito o gráfico. Otra versión narra que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre. También hay otra versión, un señor con apellido Tangram se le rompió su espejo sagrado y cuando cayó, se rompio en 7 piezas. Las del juego. Las 7 piezas formaban un cuadrado.

No se sabe con certeza quien inventó el juego ni cuando, pues las primeras publicaciones chinas en las que aparece el juego datan del siglo XVIII, época para la cual el juego era ya muy conocido en varios países del mundo. En China, el Tangram era muy popular y era considerado un juego para mujeres y niños.

A partir del siglo XVIII, se publicaron en América y Europa varias traducciones de libros chinos en los que se explicaban las reglas del Tangram, el juego era llamado "el rompecabezas chino" y se volvió tan popular que lo jugaban niños y adultos, personas comunes y personalidades del mundo de las ciencias y las artes. Napoleón Bonaparte se volvió un verdadero especialista en el Tangram desde que fue exiliado en la isla de Santa Elena.

En cuanto al número de figuras que pueden realizarse con el Tangram, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan sólo unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900.

Actualmente se pueden realizar con el Tangram alrededor de 16,000 figuras distintas.

Hoy en día el Tangram no se usa sólo como un entretenimiento, se utiliza también en la psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía. En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se usa para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstractas.
El tangram es el mejor rompecabezas para los chinos.

EL TANGRAM



El Tangram es un juego chino muy antiguo, consistente en formar siluetas de figuras con la totalidad de una serie de piezas dadas. Las figuras formadas deben usar todas las piezas sin traslaparlas. Las 7 piezas llamadas Tans, que juntas forman un cuadrado, son las siguientes:

5 triángulos de diferentes tamaños
1 cuadrado
1 paralelogramo romboide

Existen varias versiones sobre el origen de la palabra Tangram, una de las más aceptadas cuenta que la palabra la inventó un inglés uniendo el vocablo cantonés "tang" que significa chino con el vocablo latino "gram" que significa escrito o gráfico. Otra versión narra que el origen del juego se remonta a los años 618 a 907 de nuestra era, época en la que reinó en China la dinastía Tang de donde se derivaría su nombre.

El Tangram se origino muy posiblemente a partir del juego de muebles yanjitu durante la dinastía Song. Según los registros históricos chinos, estos muebles estaban formados originalmente por un juego de 6 mesas rectangulares. Más adelante se agregó una mesa triangular y las personas podían acomodar las mesas de manera que formaran una gran mesa cuadrada. Hay otra variación más adelante durante la dinastía Ming y un poco más tarde es cuando se convierte en un juego.

Normalmente los "Tans" se guardan formando un cuadrado.

Hay una leyenda que dice que un sirviente de un emperador Chino llevaba un mosaico de cerámica, muy caro y muy frágil. El sirviente tropezó rompiendo el mosaico en pedazos. Desesperado, el sirviente trato de formar de nuevo el mosaico en forma cuadrada pero no pudo. Sin embargo, se dio cuenta de que podía formar muchas otras figuras con los pedazos.

No se sabe con certeza quien inventó el juego ni cuando, pues las primeras publicaciones chinas en las que aparece el juego datan del siglo XVIII, época para la cual el juego era ya muy conocido en varios países del mundo. En China, el Tangram era muy popular y era considerado un juego para mujeres y niños.

En cuanto al número de figuras que pueden realizarse con el Tangram, la mayor parte de los libros europeos copiaron las figuras chinas originales que eran tan sólo unos cientos. Para 1900 se habían inventado nuevas figuras y formas geométricas y se tenían aproximadamente 900.
En 1973, los diseñadores holandeses Joost Elffers y Michael Schuyt produjeron una edición rústica con 750 figuras nuevas, alcanzando así un total de más de 1.600. La edición de 1973 ha vendido hasta la fecha más de un millón de ejemplares en todo el mundo. Actualmente se pueden realizar con el Tangram alrededor de 16.000 figuras distintas.

Hoy en día el Tangram no se usa sólo como un entretenimiento, se utiliza también en psicología, en diseño, en filosofía y particularmente en la pedagogía.

En el área de enseñanza de las matemáticas el Tangram se usa para introducir conceptos de geometría plana, y para promover el desarrollo de capacidades psicomotrices e intelectuales de los niños pues permite ligar de manera lúdica la manipulación concreta de materiales con la formación de ideas abstracta

martes, 25 de noviembre de 2008

ALGUNOS JUEGOS MATEMATICOS

Hay muchas maneras fáciles de incorporar a las matemáticas en sus actividades diarias con los niños. Los juegos son una gran manera de involucrar a los niños de diferentes edades de su programa. Los juegos para contar que mostramos a continuación no son complicados de organizar. Es más, usted y sus niños pueden organizar estos juegos con cosas que encuentran en la casa.
Submarinos.

Objetivo: plano carteseano y vectores.

Mecánica:
Los estudiantes deberán traer tres hojas cuadriculados, diez cuadros de largo y diez de ancho y tres submarinos que miden tres por uno, dos por uno y uno por uno.
Se forman parejas y se les coloca espalda por espalda.
Se colocan los submarinos y cada alumno debera adivinar la ubicación de los submarinos del rival.
Se empieza colocando el submarino pequeño sobre una hilera y columna.
Después dos submarinos en el total de la hoja.
Finalmente tres submarinos en varias hojas, teniendo cada hoja un nivel de profundidad.

Gallina ciega modificada.

Objetivo: concepto de pendiente.

Mecánica:
Formar equipos, donde uno de sus miembros se venda los ojos.
Se coloca un objeto a cierta distancia.
Se pide que de las instrucciones en dos etapas. La primera con dos datos (ejemplo: tres pasos hacia el frente y dos hacia la izquierda), el la segunda un solo dato (ejemplo: ¾, que significa tres pasos hacia el frente y cuatro hacia la derecha).

Reparar el radio.

Objetivo: concepto de riesgo moral.

Mecánica:
Se describe a los alumnos el problema de una persona que lleva a reparar el radio.
Se forman parejas donde uno es el cliente y otro el técnico.
A cada estudiante se le da un chocolate y se les informa la siguiente estructura de pagos: en caso que se decida poner piezas originales y confiar en el técnico, a cada uno se les da un chocolate extra; en caso que no se pongan piezas originales y se desconfie, no se dan chocolates extras; y, en caso que se decida confiar y no se pongan piezas originales, al técnico se le da un chocolate extra y el cliente debe darle su chocolate.
Se permite que se pongan de acuerdo sobre si se van a poner piezas originales y se va a confiar en el técnico.
Se separan y se les pide que escriban en un papel lo que van a hacer en realidad.

HISTORIA DE LOS JUEGOS MATEMATICOS


Desde los tiempos más antiguos, los juegos se han visto unidos a la historia de las matemáticas. No es un capricho del destino que los matemáticos de todas las épocas hayan mostrado interés por estos juegos por dos razones principales.

Por una parte, muchos tienen un contenido inspirador que propiciado el estudio y desarrollo de diferentes áreas de esta ciencia; y de otro lado, nos encontramos con el carácter lúdico de las matemáticas que se ve perfectamente complementado con el juego.

Es fácil comprobar como la inmensa mayoría de las partes de la matemática aparecen en distintos juegos:

- La aritmética está inmersa en los cuadrados mágicos, cambios de monedas,...

- La teoría elemental de números es la base de muchos juegos de adivinación fundamentados en criterios de divisibilidad, aparece en juegos que implican diferentes sistemas de numeración,...

- La combinatoria es la pieza clave de todos los juegos en los que se pide enumerar las distintas formas de realizar una empresa. Muchos de ellos sin resolver aún, como el problema del viajante.
- El álgebra es la base de muchos acertijos a cerca de edades, medidas.
- La teoría de grupos es un instrumento de vital importancia para analizar determinados juegos con fichas en un tablero en los que, al igual que las damas, se eliminan fichas al realizar movimientos.

La siguiente parada en nuestro paseo por la historia, son los tres problemas clásicos de Grecia: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo.

Los astutos cretenses se planteaban la construcción de estas tres figuras solamente empleando la regla y el compás, lo cual se ha comprobado hoy en día que es imposible.

La cuadratura del círculo, que por primera vez se planteó Anaxágoras consiste en fabricar un cuadrado de idéntica área a la de un círculo dado.

Hicieron falta más de dos mil años para que Ferdinand Lindeman (1852-1939) demostrara que era imposible tal construcción con regla sin marcas y compás, pues pi es un número trascendente.

La duplicación del cubo, reside en construir el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen de un cubo inicial dado. Es decir, dado un cubo de arista a y volumen V, hallar la arista de un cubo de volumen 2V.

Tuvieron que pasar muchos siglos para poder probar que este problema no tenía solución en la forma que lo planteaban los griegos. Y la razón se reduce a que si empleamos coordenadas cartesianas este problema consiste en calcular x³ = 2.

El geómetra francés L. Wantzel se encargo en 1837 de demostrar en uno de sus trabajos que esta hazaña era imposible con la simple utilización de estos dos elementos.

La trisección del ángulo, este fue el tercer problema griego. La labor consistía en trisectar un ángulo solo con regla (no graduada) y compás.

Los propios griegos sabían que para ciertos ángulos, con unas características específicas, esto era posible. Pero en general, este problema, al igual que los dos anteriores, no tiene solución en esas condiciones. Fue el matemático francés Pierre Wantzel (1814-1848) quien probó formalmente que un ángulo w es trisecable con regla y compás si el polinomio 4x³ - 3x - cos(w) es reducible.

Del mismo modo, fue también P.L. Wantzel quien en 1837 publicó por primera vez, en una revista de matemáticas francesa, la primera prueba rigurosa sobre la imposibilidad de trisectar el ángulo con regla y compás. Aun así, sigue habiendo matemáticos que rechazan esta prueba y continúan investigando, creyendo haber llegado muchas veces a la solución del problema.

jueves, 6 de noviembre de 2008

LA PERSONALIDAD Y LAS MATEMATICAS




Los psicólogos destacan la importancia del juego en la infancia como medio de formar la personalidad y de aprender de forma experimental a relacionarse en sociedad, a resolver problemas y situaciones conflictivas. Todos los juegos, de niños y de adultos, juegos de mesa o juegos deportivos, son modelos de situaciones conflictivas y cooperativas en las que podemos reconocer situaciones y pautas que se repiten con frecuencia en el mundo real. El estudio de los juegos ha inspirado a científicos de todos los tiempos para el desarrollo de teorías y modelos matemáticos. La estadística es una rama de las matemáticas que surgió precisamente de los cálculos para diseñar estrategias vencedoras en juegos de azar. Conceptos tales como probabilidad, media ponderada y distribución o desviación estándar, son términos acuñados por la estadística matemática y que tienen aplicación en el análisis de juegos de azar o en las frecuentes situaciones sociales y económicas en las que hay que adoptar decisiones y asumir riesgos ante componentes aleatorios. Pero la teoría de juegos tiene una relación muy lejana con la estadística. Su objetivo no es el análisis del azar o de los elementos aleatorios sino de los comportamientos estratégicos de los jugadores. En el mundo real, tanto en las relaciones económicas como en las políticas o sociales, son muy frecuentes las situaciones en las que, al igual que en los juegos, su resultado depende de la conjunción de decisiones de diferentes agentes o jugadores. Se dice de un comportamiento que es estratégico cuando se adopta teniendo en cuenta la influencia conjunta sobre el resultado propio y ajeno de las decisiones propias y ajenas. La Teoría de Juegos ha alcanzado un alto grado de sofisticación matemática y ha mostrado una gran versatilidad en la resolución de problemas. Muchos campos de la Economía —Equilibrio General, distribución de costes, etc. — se han visto beneficiados por las aportaciones de este método de análisis. En el medio siglo transcurrido desde su primera formulación el número de científicos dedicados a su desarrollo no ha cesado de crecer. Y no son sólo economistas y matemáticos sino sociólogos, politólogos, biólogos o psicólogos. Existen también aplicaciones jurídicas: asignación de responsabilidades, adopción de decisiones de pleitear o conciliación, etc. Hay dos clases de juegos que plantean una problemática muy diferente y requieren una forma de análisis distinta. Si los jugadores pueden comunicarse entre ellos y negociar los resultados se tratará juegos con transferencia de utilidad (también llamados juegos cooperativos), en los que la problemática se concentra en el análisis de las posibles coaliciones y su estabilidad. En los juegos sin transferencia de utilidad, (también llamados juegos no cooperativos) los jugadores no pueden llegar a acuerdos previos; es el caso de los juegos conocidos como "la guerra de los sexos", el "dilema del prisionero" o el modelo "halcón-paloma". Los modelos de juegos sin transferencia de utilidad suelen ser bipersonales, es decir, con sólo dos jugadores. Pueden ser simétricos o asimétricos según que los resultados sean idénticos desde el punto de vista de cada jugador. Pueden ser de suma cero, cuando el aumento en las ganancias de un jugador implica una disminución por igual cuantía en las del otro, o de suma no nula en caso contrario, es decir, cuando la suma de las ganancias de los jugadores puede aumentar o disminuir en función de sus decisiones. Cada jugador puede tener opción sólo a dos estrategias, en los juegos biestratégicos, o a muchas. Las estrategias pueden ser puras o mixtas; éstas consisten en asignar a cada estrategia pura una probabilidad dada. En el caso de los juegos con repetición, los que se juegan varias veces seguidas por los mismos jugadores, las estrategias pueden ser también simples o reactivas, si la decisión depende del comportamiento que haya manifestado el contrincante en jugadas anteriores.

LA NATURALEZA LUDICA DE LAS MATEMATICAS




Las matemáticas siempre han tenido un sentido lúdico. Muchas de las profundas reflexiones alrededor de los problemas matemáticos han estado teñidas de una motivación y un reto apasionante que produce placer y sensación de búsqueda y logro. Para Arquímedes, Euclides, Leibniz o Einstein las matemáticas tuvieron los trazos de una apasionante aventura del espíritu. Las matemáticas, al igual que están en todo lo que conocemos, se encuentran claramente dibujadas en los juegos y acertijos.
Al igual que las matemáticas el juego es parte de la vida y tiene un papel determinante en el desarrollo intelectual de la infancia. El juego en los niños y niñas puede ser serio, acaparador y bastante agotador, algunos juegos son de imitación, otros tienen que ver con la fantasía, algunos pueden ser ritos muy determinados, puede ser un actividad de grupo o individual, pueden ser fuente de placer y de gran esfuerzo o disgusto.
El primer tipo de juego de los bebés es el de la manipulación sensoria motriz, en cuanto el bebé puede controlar sus movimientos los empieza usar y explorar en forma de juego. El juego sensorio motriz puede ser chuparse el dedo, patear los costados de la cuna. Los juegos son importantes porque son el método de exploración de las cosas nuevas. Con el juego los bebés, manipulan, exploran y actúan pero también le brindan apego y seguridad.
Hay otro tipo de juegos en los cuales los niños y niñas echan a volar su imaginación y fantasía. Para los niños, los objetos pueden convertirse en cualquier otra cosa: Un palo puede ser un caballo y cuatro líneas una casita, estos juegos han sido llamados simbólicos. Los juegos simbólicos son importantes para comprender los significados y son determinantes para la inteligencia y la relaciones de los niños con otros.
Posteriormente los juegos con reglas le dan una nueva dimensión al desarrollo del intelecto y le imprimen un sentido social. En estos juegos los niños aceptan voluntariamente las reglas como limites convencionales sometiéndose a las consecuencias y recompensas de su acción. Las reglas en sí, le dan estructura al juego y aumentan el reto.
En conclusión, el juego es un modo de acción, de expresión y de vivencia de experiencias altamente desarrollado e insustituible para el desarrollo intelectual de los niños y niñas. Toma diversas formas a través de las etapas de la vida de las personas y de su entorno histórico, social y tecnológico.
El juego está vinculado al juguete, un juguete puede ser tanto piedrecillas, como un palo, un trozo de tela, canicas, un televisor o un ordenador. El valor del juguete como instrumento de juego para el desarrollo intelectual está directamente relacionado con la participación activa que el niño tenga. Si el niño opera y crea sobre él, es más valioso que si el niño sólo recibe pasivamente.
El juego y los juguetes son los procesos y los instrumentos con los cuales los niños desarrollan naturalmente su mente. El desarrollo de la inteligencia de los niños no consiste en saturar la mente de los niños con la información que nosotros consideramos necesaria, sino favorecer la utilización de sus potenciales intelectuales de manera gradual, respetuosa y armoniosa a los procesos naturales. El juego es una verdadera posibilidad de hacerse con habilidades de pensamiento adecuados para resolver problemas matemáticos y no matemáticos bajo un esquema de pensamiento lógico.